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1、祖沖之是怎么計算出圓周率的？ 2、祖沖之與圓周率的故事是什么？ 3、祖沖之是怎么算圓周率的？ 4、祖沖之如何求得圓周率？ 5、祖沖之是用什么方法計算圓周率的？ 祖沖之是怎么計算出圓周率的？

祖沖之是我國古代著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，他在數(shù)學(xué)上最重要的成就是把圓周率的小數(shù)位史無前例地計算到第七位，這個精度在隨后的800年里一直是世界第一。那時是公元480年，一切都要依靠手工計算的時代（甚至算盤可能還沒有出現(xiàn)），算個開方都費勁，那么，祖沖之是如何算出精度這么高的圓周率呢？

圓周率并不是通過先作圓，然后量周長和直徑，最后算出來的。因為這樣做的誤差很大，測量誤差不可避免。事實上，古代數(shù)學(xué)家在很長一段時間里都是用幾何方法來計算圓周率。

祖沖之算圓周率所使用的方法是劉徽發(fā)明的割圓術(shù)，這與阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通過做圓的外切和內(nèi)接正多邊形，來計算圓周率的上下限，因為邊數(shù)越多的正多邊形越接近于圓。

劉徽的割圓術(shù)基于圓的內(nèi)接正多邊形，他用正多邊形的面積來逼近圓的面積。分割越多，內(nèi)接正多邊形和圓之間的面積越來越小，兩者越來接近。無限分割之后，內(nèi)接正多邊形和圓將會合二為一。

如上圖所示，在一個半徑為r的圓中做正3×2^n（n為正整數(shù)）邊形，假設(shè)其邊長為a_n，即AB=a_n。AB的中點為P，連接OP交圓于C。那么，AC和BC就是正3×2^(n+1)邊形的邊長，可以表示為a_(n+1)。

在直角三角形AOP中，根據(jù)勾股定理：

OA^2=AP^2+OP^2

令OP=b_n，由此可得：

令PC=c_n，c_n=PC=OC-OP=r-b_n

在直角三角形APC中，根據(jù)勾股定理：

AC^2=AP^2+PC^2

由此可得：

知道正3×2^n邊形的邊長之后，再根據(jù)劉徽多邊形面積公式，可以算出正6×2^n邊形的面積。根據(jù)上述正多邊形邊長的迭代公式，不斷的把圓分割下去，圓面積的計算精度會越來越高。

在劉徽的方法中，引入了極限和無窮小分割的思想。劉徽的方法更為巧妙，也更為簡潔。劉徽算到了正3072邊形，結(jié)果得到的圓周率為3.1416。

祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算到了正24576邊形，并根據(jù)劉徽圓周率不等式，確定了圓周率的下限（肭數(shù)）為3.1415926，上限（盈數(shù)）為3.1415927。并且，祖沖之還順便給出了圓周率的一個近似分?jǐn)?shù)355/113，其前六位都是正確的。

在沒有計算機(jī)和算盤的幫助下，祖沖之用算籌來計算乘方和開方，硬生生地把圓周率的小數(shù)位算到了第七位，這需要極其巨大的毅力和艱苦卓絕的付出。在祖沖之的努力下，此后800年里，沒有人能夠算出比這精度更高的圓周率。

祖沖之與圓周率的故事是什么？

祖沖之自幼喜歡數(shù)學(xué)，在父親和祖父的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)了很多數(shù)學(xué)方面的知識。一次，父親從書架上給他拿了一本《周髀算經(jīng)》，這是一本西漢或更早的著名的數(shù)學(xué)書。書中講到圓的周長為直徑的3倍。于是，他就用繩子量車輪，進(jìn)行驗證，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)車輪的周長比車輪直徑的3倍還多一點。他又去量盆子，結(jié)果還是一樣。他想圓周并不完全是直徑的3倍，那么圓周究竟比3個直徑長多少呢？在漢以前，中國一般用三作為圓周率數(shù)值，即“周三徑一”。這在計算圓的周長和面積時，誤差很大。祖沖之在劉徽創(chuàng)造的用“割圓術(shù)”求圓周率的科學(xué)方法基礎(chǔ)上，運(yùn)用開密法，經(jīng)過反復(fù)演算，求出圓周率為：3.1415927π3.1415926。這是當(dāng)時世界上最精確的數(shù)值，他也成為世界上第一個把圓周率的準(zhǔn)確數(shù)值計算到小數(shù)點以后第7位數(shù)字的人。直到1000多年后，這個紀(jì)錄才被歐洲人打破。圓周率的計算，是祖沖之在數(shù)學(xué)上的一項杰出貢獻(xiàn)，有外國數(shù)學(xué)史家把π叫做“祖率”。

祖沖之是怎么算圓周率的？

祖沖之發(fā)明的；祖沖之在數(shù)學(xué)上的杰出成就，是關(guān)于圓周率的計算．秦漢以前，人們以徑一周三做為圓周率，這就是古率．后來發(fā)現(xiàn)古率誤差太大，圓周率應(yīng)是圓徑一而周三有余，不過究竟余多少，意見不一。

直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學(xué)方法--割圓術(shù)，用圓內(nèi)接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內(nèi)接96邊形， 求得π=3.14，并指出，內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，所求得的π值越精確。

祖沖之在前人成就的基礎(chǔ)上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復(fù)演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間．并得出了π分?jǐn)?shù)形式的近似值，取為約率 ，取為密率，其中取六位小數(shù)是3.141929，它是分子分母在1000以內(nèi)最接近π值的分?jǐn)?shù)。

拓展資料

圓周率（Pai）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。π也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。 在分析學(xué)里，π可以嚴(yán)格地定義為滿足sin x = 0的最小正實數(shù)x。

圓周率用字母 π（讀作pài）表示，是一個常數(shù)（約等于3.141592654），是代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。

在日常生活中，通常都用3.14代表圓周率去進(jìn)行近似計算。而用十位小數(shù)3.141592654便足以應(yīng)付一般計算。即使是工程師或物理學(xué)家要進(jìn)行較精密的計算，充其量也只需取值至小數(shù)點后幾百個位。

參考資料：誰才是圓周率？π 和 τ 之間的戰(zhàn)爭??. [2015-3-18]

圓周率定義

祖沖之如何求得圓周率？

祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，簡化成3.1415926，祖沖之因此入選世界紀(jì)錄協(xié)會世界第一位將圓周率值計算到小數(shù)第7位的科學(xué)家。祖沖之還給出圓周率(π)的兩個分?jǐn)?shù)形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位。祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻(xiàn)，后人將“約率”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。

東漢張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時王蕃推算出的圓周率數(shù)值為3.155。魏晉的著名數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時創(chuàng)立了新的推算圓周率的方法——割圓術(shù)，將圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14；并且說明這個數(shù)值比圓周率實際數(shù)值要小一些。劉徽以后，探求圓周率有成就的學(xué)者，先后有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數(shù)值為3.1428，皮延宗求出圓周率值為22/7≈3.14。

祖沖之認(rèn)為自秦漢以至魏晉的數(shù)百年中研究圓周率成績最大的學(xué)者是劉徽，但并未達(dá)到精確的程度，于是他進(jìn)一步精益鉆研，去探求更精確的數(shù)值。

根據(jù)《隋書·律歷志》關(guān)于圓周率（π）的記載：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結(jié)果共得到兩個數(shù)：一個是盈數(shù)（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒

圓周率

數(shù)（即不足的近似值），為3.1415926。

盈朒兩數(shù)可以列成不等式，如:3.1415926（*）π（真實的圓周率）3.1415927（盈），這表明圓周率應(yīng)在盈朒 兩數(shù)之間。按照當(dāng)時計算都用分?jǐn)?shù)的習(xí)慣，祖沖之還采用了兩個分?jǐn)?shù)值的圓周率。一個是355/113（約等于3.1415927），這一個數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是22/7（約等于3.14），這一個數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實意義，他的研究適應(yīng)了當(dāng)時生產(chǎn)實踐的需要。他親自研究度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。古代有一種量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精確的數(shù)值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了數(shù)值。以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數(shù)值。

祖沖之是用什么方法計算圓周率的？

現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家經(jīng)過詳細(xì)研究認(rèn)為，祖沖之也是采用劉徽的“割圓術(shù)”來取得這一成果的。如果祖沖之真的是使用“割圓術(shù)”的話，他就要經(jīng)過11次倍邊過程，最后才能求得圓內(nèi)接正12288邊形和內(nèi)接正24576邊形的面積，而且每一次倍邊過程，他都要進(jìn)行9至18位數(shù)的四則和開方運(yùn)算。不必說那時用的是籌算計算，就是現(xiàn)在用計算機(jī)計算，也是一件比較繁重的工作。特別值得一提的是，祖沖之發(fā)明的“約率”和“密率”，不但在實際生活中簡單實用，而且是圓周率的最佳分?jǐn)?shù)。約率是分母不超過百位數(shù)的所有近似值分?jǐn)?shù)中的最佳逼近值；密率也是分母不超過千位數(shù)的所有近似分?jǐn)?shù)中的最佳逼近值。

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